CONCOURS D’ENTREE A l’EAMAC

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES ET DE PHYSIQUE

Ingénieur

A) MATHEMATIQUES

1. I.ALGEBRE :
2. 1.1Théorie des ensembles :

Logique, ensembles, relations, applications, ensembles, équipotents, ensembles finis.

1. 1.2Lois de composition internes :

Définitions, compatibilité d’une relation avec une loi; loi-quotient, morphismes.

1. 1.3Groupes :

Définitions, morphismes de groupe, sous groupes, groupes finis, générateurs, groupes monogènes, groupes cycliques.

1. 1.4Anneaux et corps :

Anneaux :

Structure d’un anneau; morphisme; sous-anneau, idéal d’un anneau commutatif, Etude de (z,+,.), arithmétique.

Corps :

Définition; propriétés fondamentales, sous-corps, idéaux d’un corps, morphisme de corps.

1. 1.5Les corps B et ç_:

Le corps (X—, .) :

Propriétés fondamentales, valeur absolue dans i£, partie entière d’un réel, exposants fractionnaires.

Le corps (c,+,.) :

Propriétés de c, interprétation géométrique, module d’un nombre complexe, résolution de l’équation du second degré dans c, argument d’un nombre complexe non nul, racines n-ièmes de l’unité.

1. 1.6Espaces vectoriels :

Espaces vectoriels, applications linéaires, sous-espaces vectoriels : Définitions, applications linéaires, sous-espaces vectoriels, applications linéaires et sous-espaces vectoriels, projecteurs et projections.

Systèmes générateurs.

Systèmes libres, bases :

Définitions et propriétés, applications linéaires et familles de vecteurs.

Espaces vectoriels de dimension finie :

Définition, dimension, applications linéaires d’un espace vectoriel de dimension finie E dans un espace vectoriel fini, espace dual.

1. 1.7Matrices :

Définitions et propriétés, structure d’espace vectoriels multiplication des matrices, rang d’une matrice, transposée d’une matrice, étude de M_n(K),changement de base, matrice de passage.

1. 1.8Polynômes :

Algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K,fonctions polynomiales, les propriétés algébriques de JEjJf], racines d’un polynôme, dérivation des polynômes, formule de Taylor, étude de la factorisation dans etc[Jf], division des polynômes suivant les puissances croissantes.

1. 1.9Fractions rationnelles :

Corps des fractions d’un anneau commutatif intègre, corps des fractions rationnelles, fonction rationnelle, décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle.

I. 10 Déterminant ;

Dimension deux :

Formes bilinéaires alternées, déterminant d’un couple de vecteurs de E,déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2, déterminant d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension 2.

Dimension trois :

Formes tri linéaires alternées, déterminant d’un triplet de vecteurs; d’une matrice d’ordre 3; d’un endomorphisme, calcul des déterminants d’ordre 3.

Dimension n :

Formes n-linéaires alternées et déterminant, déterminant d’une matrice d’ordre n; d’un endomorphisme de E,calcul des déterminants en dimension n.

Applications des déterminants ;

Calcul de l’inverse d’une matrice carrée, détermination du rang.

1. 1.11Systèmes d’équations linéaires :

Définitions et interprétations, systèmes homogènes, systèmes de Cramer, méthode générale de résolution d’un système.

1. 1.12Réduction des endomorphismes dans un espace vectoriel de dimension finie :

Valeur propre et vecteur               propre,     polynôme    minimal,    diagonalisation      des

endomorphismes, recherche des valeurs propres, applications de la diagonalisation, théorème d’Hamilton Cayley, réduite de Jordan, calcul des exponentielles des matrices.

1. 1.13Formes quadratiques, Espaces euclidiens.

Formes bilinéaires symétrique, interprétation matricielle, formes quadratiques, espaces vectoriels euclidiens, diagonalisation orthogonale des matrices symétriques réelles, méthode de réduction de Gauss.

1. 1.14Formes hermitiennes. Espaces hermitiens.

Formes hermitiennes, formes quadratiques hermitiennes, orthogonalité, espaces hermitiens, endomorphisme                             adjoint,     groupe        unitaire,      diagonalisation      des

endomorphismes auto-adjoints dans un espace hermitien.

1. 1.15Quelques notions de géométrie analytique dans l’espace

Equation de la surface et de la courbe dans l’espace, équation générale du plan, angle de deux plans, équation de la droite de l’espace, notions sur la dérivée d’un vecteur fonction, équation de la sphère, équation de l’ellipsoïde, équation du paraboloide de révolution.

1. II.ANALYSE
2. 11.1Suites numériques :

Généralités, suites convergentes, propriétés des suites convergentes, suites extraites, valeurs d’adhérence d’une suite, théorème de Bolzano Weierstrass, opérations sur les suites convergentes, suites divergentes, suite de Cauchy, suites infiniment petites, suites monotones bornées, suites adjacentes, suites récurrentes, suites arithmétiques, suites géométriques, suites homographiques.

1. 11.2Limites, continuité, fonctions négligeables, équivalentes :

Généralités, limite en un point, continuité, prolongement par continuité, limites infinies, limites à l’infini, lien avec les limites de suites, limites et inégalités, opérations sur les limites, comparaison locale des fonctions, fonctions négligeables devant une fonction, fonctions équivalentes, continuité sur un intervalle, bornes et valeurs intermédiaires, fonction monotone, continuité uniforme, théorème de Heine.

1. 11.3Dérivabilité :

Fonction dérivable en un point, différentielle, fonction dérivée, dérivée d’une application composée, de la réciproque d’une bijection, dérivées successives, formule de Leibnitz, dérivation et opérations sur les fonctions, extremum local, théorèmes de Rolle, théorème des accroissements finis, règle de l’Hôpital, formule de Taylor avec reste de Lagrange, formule de Taylor avec reste de Young.

1. 11.4Fonctions usuelles

Fonction logarithme, fonction exponentielle, puissance, fonctions circulaires, fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproque, fonctions trigonométriques réciproques.

1. 11.5Développements limités :

Définitions et propriétés, opérations sur les développements limités, intégration, dérivation et composition des développements limités.

Généralités, opérations sur les développements limités au voisinage de 0.

Application des développements limités, développements limités généralisés. Applications des développements limités, développements limités des fonctions usuelles.

1. 11.6Calcul intégral :

Subdivision d’un segment, sommes de Riemann, fonctions intégrables sur un segment, propriétés des sommes de Riemann, définition de l’intégrale, classe des fonctions intégrables, propriétés des intégrales, intégrations par parties, changement de variable, formule de la moyenne, interprétation géométrique de l’intégrale d’une fonction positive, calcul des intégrales, formule de Taylor avec reste intégral, applications du calcul intégral.

1. 11.7Intégrales généralisées

Cas d’une fonction bornée sur un intervalle borné, cas d’une fonction définie sur un intervalle non borné.

1. 11.8Fonctions vectorielles d’une variable réelle

Généralités, courbes planes en coordonnées paramétriques, courbe planes en coordonnées polaires.

1. 11.9Equations différentielles :

Définitions générales, équations différentielles à variables séparables, équations homogène, équations différentielles du premier ordre, équations différentielles d’ordre supérieur, équations aux différentielles totales, facteur intégrant, équations non résolues par rapport à la dérivée, équations différentielles linéaires à coefficients constants, équations différentielles à coefficients variables, systèmes d’équations linéaires à coefficients constants, équations aux dérivées partielles du premier ordre.

1. 11.10Fonctions de plusieurs variables

Normes sur ffi"; limites; continuité; dérivabilité, dérivées partielles, différentielle totale, gradient, dérivées partielles successives, théorème des fonctions implicites, problèmes d’extrémums.

1. 11.11Séries :

Séries numériques :

Définition et propriétés des séries convergentes, séries à termes réels positifs, séries absolument convergentes, semi-convergentes, série à termes quelconques, séries alternées.

Série de fonctions :

Convergence, convergence simple, normale, uniforme.

Série entière :

Définition, rayon de convergence, dérivation et intégration de séries entières, développement en série entière.

Série de Fourier :

Série trigonométrique de Fourier, série de Fourier de fonctions paires et impaires, série de Fourier de fonctions non périodiques, transformation de Fourier.

1. 11.12Intégrales dépendant d’un paramètre :

Cas ou l’intégrale est définie sur un segment, intégrales généralisées et convergence uniforme, intégrales généralisées et convergence dominée, transformée de Laplace.

1. 11.13Intégrales curvilignes :

Intégrales curviligne de première espèce et de seconde espèce, interprétation physique de l’intégrale curviligne de seconde espèce, condition d’indépendance de la nature du chemin d’intégration.

1. 11.14Intégrales multiples :

Notion d’intégrale double, intégrale double en coordonnées cartésiennes, en coordonnées polaires, intégrale d’Euler-Poisson, théorème de la moyenne, applications de l’intégrale double, intégrale triple, notion, définition, calcul de l’intégrale triple, application des intégrales double et triple, notion d’intégrale multiple impropre.

1. 11.15Fonction d’une variable complexe :

Notion de fonction d’une variable complexe, dérivée, conditions de Cauchy-Riemann, intégration par rapport à la variable complexe, théorème de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, résidus, théorème des résidus, application au calcul des intégrales.

1. III.PROBABILITES
2. 111.1Généralités sur les ensembles

Éléments, union, intersection, application, injection, surjection, bijection, image, image réciproque, ensemble dénombrable et cardinal.

1. 111.2Dénombrement

Arrangement, permutation et combinaison.

1. 111.3Probabilité sur les ensembles finis

Evénements, définitions et propriétés élémentaires des probabilités, probabilités conditionnelles, formules de Bayes et des probabilités totales, produits de probabilité.

1. 111.4Généralisation de la notion de probabilité

Tribu, probabilité sur un ensemble quelconque, généralisation des formules de Bayes et des probabilités totales.

1. 111.5Variables aléatoires

Définitions, loi d’une variable aléatoire, fonctions de répartition d’une variable aléatoire, variables aléatoires à valeurs finies, variables aléatoires discrètes, variables aléatoires ayant une densité, moments d’une variable aléatoire (espérance mathématique, variance écart-type), indépendance de variables aléatoires, covariance, coefficients de corrélations, densités conditionnelles, etc., fonctions génératrices et caractéristiques, variables aléatoires usuelles (loi binomiale, loi de Poisson, loi normale, etc.).

1. III.6Théorèmes de convergence

Inégalités de Bienaymé-Tchebychev, convergence en loi, convergence en probabilité, théorème limite centrale.

1. IV.STATISTIQUE
2. IV.1 Vocabulaire et définitions

Univers statistique, caractères quantitatifs (discrets et continus) et qualitatifs, concept de classe.

1. IV.2 Représentation graphique des données

Condensation en intervalles partiels, représentations graphiques, différentes formes de courbes de fréquences.

1. IV.3 Représentation numérique des données

Position du problème, paramètres de position (médiane, moyennes arithmétique et géométrique), paramètres de dispersion (inter quantile, étendue, variance), paramètres complémentaires.

1. IV.4 Séries statistiques à deux variables

Tableaux d’effectifs, nuages de points, point moyen, ajustement affiné, méthode graphique, méthode des moindres carrés, droites de régression, coefficients de corrélation linéaire, exemples d’étude d’ajustements.

1. IV.5 Etude des échantillons

Problème de l’échantillonnage, estimation ponctuelle d’un paramètre, moyenne, fréquence, variance et écart-type, estimation par intervalle de confiance, loi de distribution des paramètres.